Boran Berčić: Zašto 2+2=4?

Matematika je filozofima oduvijek bila zanimljiva. Pitagora i njegovi sljedbenici vjerovali su da se sve činjenice u svijetu mogu izraziti matematički. Platon je smatrao da je jedino filozofsko znanje vrijednije od matematičkog. Descartes i Leibniz su i sami bili matematičari. Spinoza je svoj filozofski sistem nastojao izložiti geometrijskim redom, po uzoru na Euklidove Elemente. Ono što je možda najviše fasciniralo filozofe u matematici jest njezina izvjesnost. Matematička spoznaja bila je, zbog svoje izvjesnosti, uzor svakoj drugoj spoznaji. Doista, ne možemo se otrgnuti dojmu da su matematičke istine nužne, to jest, da ne mogu biti drukčije nego što jesu. Sve drugo može biti drukčije nego što jest, samo matematičke istine ne. U svim drugim znanostima i valjana metoda može dovesti pogrešnih rezultata, samo u matematici ne. Matematička spoznaja jest, ako je valjana, apsolutno sigurna i izvjesna. Stoga ćemo u ovom tekstu nastojati vidjeti što matematičke sudove čini istinitima, o čemu oni govore i kako ih spoznajemo.

Teorije u filozofiji matematike

To da 2+2=4 – to je jasno i oko toga se svi slažemo. Međutim, ni iz daleka nije jasno zašto je 2+2=4, što je to zbog čega 2+2=4?

Oko odgovora na to pitanje nema nikakvog slaganja. Mislim da je pitanje Zašto 2+2=4? najbolje shvatiti kao pitanje Što rečenicu »2+2=4« čini istinitom? Da pojasnim; Da li je istina da 2+2=4? Jest, istina je! Da li je istina da 2+2=5? Ne, to nije istina! Pitanje je što je to što rečenicu »2+2=4« čini istinitim, a rečenicu »2+2=5« neistinitom? Dakle, mora biti negdje nešto što prvu rečenicu čini istinitom, a drugu neistinitom. Pitanje je: što je to?

Dakle, pitanje je ontološke prirode, koja je to vrsta stvari koja rečenice matematike čini istinitima? Ili, da se poslužimo engleskim izrazom, što su truth makeri matematičkih rečenica? Ontološko pitanje, o tome što rečenice matematike čini istinitima ili neistinitima, u uskoj je vezi s epistemološkim i semantičkim problemima matematike. Epistemološko pitanje jest kako spoznajemo matematičke istine? O kojoj se vrsti spoznaje radi? Kako znamo da 2+2=4? Zašto vjerujemo da je to istina? Na osnovi kojih razloga to tvrdimo? Da li to spoznajemo iskustvom, čistim mišljenjem, ili na neki treći način? Semantičko pitanje jest što to znači da 2+2=4? O čemu govori rečenica 2+2=4? O čemu govore rečenice matematike? Na što referiraju? Što one opisuju? Jasno, ontološki, epistemološki i semantički aspekt pitanja o istini uvijek su usko povezani, tako je i u slučaju matematike. Semantički i ontološki aspekt povezani su na slijedeći način. Izjavnim rečenicama uvijek se nešto tvrdi, one su uvijek o nečemu. Ono što se rečenicom tvrdi, ono o čemu ona govori, to je ujedno i ono što ju čini istinitom ili neistinitom. Ako je to što se rečenicom tvrdi stvarno tako, rečenica je istinita. Ako nije tako, rečenica nije istinita. Ono što se rečenicom tvrdi, to je ono o čemu je ona i to je ono što ju čini istinitom ili neistinitom. Isto tako, matematička spoznaja mora biti spoznaja onoga o čemu matematika govori, to jest, onoga što matematiku čini istinitom. U ovoj će raspravi naglasak prvenstveno biti na ontološkom aspektu pitanja: što je to što rečenice matematike čini istinitima, koja je to vrsta stvari?

Istina ima raznih. Različite rečenice istinite su na različitim osnovama, ovisno o čemu govore. Istinosna vrijednost rečenica koje govore o fizičkim predmetima ovisi o tome kakvi su fizički predmeti koje one opisuju. Na primjer, rečenica »U prostoriji 212 na FF-u u Rijeci ima 35 klupa«, istinita je zato što u prostoriji 212 na FF-u Rijeci doista ima 35 klupa. Dakle, fizička činjenica da u toj prostoriji ima toliko klupa jest ono što tu rečenicu čini istinitom. Istinosna vrijednost rečenica koje govore o mentalnim stanjima ovisi o tome jesu li mentalna stanja o kojima one govore doista takva kao što se njima tvrdi. Ono što rečenicu »Martu boli zub« čini istinitom jest mentalna činjenica da Martu stvarno boli zub. Neke su rečenice istinite na osnovi konvencije. Na primjer, da li je istina da 1 metar ima 100 centimetara? Istina je! Ono što odgovarajuću rečenicu čini istinitom jest konvencija o metričkom sustavu da 1m ima 100cm. Isto je tako istinito na osnovi konvencije da je 1m dugačak upravo toliko koliko jest, a ne više ili manje. Neke istine ovise o pravilima igre. Rečenica »Lovac se smije kretati samo dijagonalno« istinita je na osnovi pravila šaha. Na osnovi pravila nogometa istina je da se ne smije igrati rukom. Pravila igara isto su tako samo konvencije. Neke su rečenice istinite na osnovi značenja riječi od kojih se sastoje. Rečenica »Ujak je brat od majke« istinita je zato što riječ »ujak« naprosto znači »brat od majke«. Neke istine ovise o tome kako mi vidimo stvari oko sebe. Istina je da je trava zelena zato što normalan spoznavatelj u normalnim okolnostima travu vidi kao zelenu. Da imamo drukčiji perceptivni aparat, trava nam možda ne bi izgledala zelena. Neke su rečenice istinite zbog logičkog oblika kojega imaju. Rečenica »Ako kiša pada, onda kiša pada« istinita je, padala kiša ili ne. Isto kao i »Kiša pada ili kiša ne pada«. Ako bismo nekoga pitali da li pada kiša, a on bi nam dao ovakve odgovore, mislili bismo da nas zafrkava. Međutim, iako neinformativni, ovi su odgovori istiniti. Istiniti su na osnovi svog logičkog oblika. Prva je rečenica istinita zato što ima oblik zakona logike pp (ako p, onda p). Druga zato što ima oblik pV~p (p ili ~p). Postoji vjerojatno još vrsta istina, onoliko koliko ima vrsta činjenica u svijetu.

Pitanje koje nas zanima jest što je to što rečenicu »2+2=4« čini istinitom? Koja je to vrsta činjenica u svijetu koja matematiku čini istinitom. Jesu li to fizički predmeti, mentalna stanja, konvencije, pravila igre, značenja riječi, način na koji vidimo svijet, zakoni logike, ili pak nešto drugo?

Članak u celosti možete pročitati na sledećem linku.

Izvor: FILOZOFSKA ISTRAŽIVANJA, God. 25 (2005) Sv. 4 (945–961)
Pokreće Blogger.